LeetCode題解析空間複雜度

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上週 這篇 一同理解了時間複雜度之後，本篇我們將一起透過 LeetCode 題目，逐步分析空間複雜度，看看不同複雜度在演算法實戰中的應用情境。

O(1)

以LeetCode的 231.Power of Two 來說明。

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class Solution(object):
    def isPowerOfTwo(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: bool
        """
        return n>0 and n&(n-1)==0

print(Solution().isPowerOfTwo(16)) #True
print(Solution().isPowerOfTwo(3))  #False
💡 2的n次方數字在二進位時只會有一個1
14 → 01110₂
15 → 01111₂
24 = 16 → 10000₂

分析複雜度

空間複雜度是 O(1)

  • 只用了幾個變數: (n-1)、n&(n-1)、布林值
  • 沒有使用與輸入規模 n 成長相關的額外資料空間
  • 所以空間複雜度 = O(1)

時間複雜度是 O(1)

  • n>0 #一次比較 → O(1)
  • (n-1) #一次減法 → O(1)
  • n&(n-1)==0 #一次位元運算 → O(1)
  • 所以時間複雜度 = O(1) + O(1) + O(1) = O(1)

O(log n)

以LeetCode的 69.Sqrt(x) 來說明。

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class Solution(object):
    def mySqrt(self, x):
        if x < 2:
            return x

        def helper(left, right):
            # 觀察每一步的搜尋區間
            print(f"search [{left}, {right}]")
            if left > right:
                return right

            mid = (left + right) // 2
            if mid*mid <= x:
                return helper(mid + 1, right)
            else:
                return helper(left, mid - 1)

        return helper(1, x // 2)

print(Solution().mySqrt(8)) #2
print(Solution().mySqrt(2)) #1

分析複雜度

空間複雜度是 O(log n)

  • 每次遞迴把搜尋區間 [left, right] 對半縮小
  • 初始搜尋區間: [1, x//2]，大小約為 x/2
  • 第 1 次遞迴：≈ x/4
  • 第 2 次遞迴：≈ x/8
  • 第 k 次遞迴：≈ x / 2(k+1) ≈ 1 → 2(k+1) ≈ x ⇒ k ≈ log₂(x) - 1 → 遞迴深度 ≈ log₂(x)
  • 所以空間複雜度 = O(log n)

時間複雜度是 O(log n)

  • 每次遞迴把搜尋區間 [left, right] 對半縮小
  • 初始搜尋區間: [1, x//2]，大小約為 x/2
  • 第 1 次後: 區間縮小一半 → x/4
  • 第 2 次後: 區間再縮小一半 → x/8
  • 第 k 次後: x/2(k+1) ≈ 1 → 2(k+1) = x → k = log₂(x)-1 → ≈ 需要 log₂(x) 次遞迴
  • 所以時間複雜度 = O(log n)
💡 對數公式
logba = c ⇔ bc = a
log⁡2​16 = 4
→ 2 的多少次方等於 16?
→ 因為 24 = 16，所以是 4

O(n)

以LeetCode的 1.Two Sum 來說明。

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class Solution(object):
    def twoSum(self, nums, target):
        """
        :type nums: List[int]
        :type target: int
        :rtype: List[int]
        """
        d = {}
        for i,v in enumerate(nums):
            diff=target-v
            if diff in d:
                return [d[diff],i]
            d[v]=i

nums = [2,7,11,15]
target = 9
Solution().twoSum(nums, target) #[0, 1]

分析複雜度

空間複雜度是 O(n)

  • 只用了幾個變數: i、v、diff
  • 使用了一個字典 d → O(n)
  • 所以空間複雜度 = O(n)

時間複雜度是 O(n)

  • 迴圈跑 n 次 (n = len(nums)) → O(n)
  • 每次迭代內的操作:
    • 計算 diff = target - v → O(1)
    • 查詢 diff in d → O(1)
    • 插入 d[v] = i → O(1)
  • 所以時間複雜度 = O(n)

O(n²)

以LeetCode的 118.Pascal’s Triangle 來說明。

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class Solution(object):
    def generate(self, numRows):
        """
        :type numRows: int
        :rtype: List[List[int]]
        """
        t=[]
        for i in range(1,numRows+1):
            t.append([1]*i)
        for i in range(2,numRows):
            for j in range(1,i):
                t[i][j]=t[i-1][j-1]+t[i-1][j]
        return t

Solution().generate(5)

分析複雜度

空間複雜度是 O(n²)

  • 第 1 列有 1 個元素
  • 第 2 列有 2 個元素
  • 第 n 列有 n 個元素
  • 總數量 = 1+2+…+n=n(n+1)/2 ≈ O(n²)
  • 所以空間複雜度 = O(n²)

時間複雜度是 O(n²)

① 第一個迴圈

  • 當 i=1 → 需要建立長度 1 的列 → 要跑 1 次
  • 當 i=2 → 需要建立長度 2 的列 → 要跑 2 次
  • …
  • 當 i=n-1 → 需要建立長度 n-1 的列 → 要跑 n-1 次
  • 當 i=n → 需要建立長度 n 的列 → 要跑 n 次
  • 總執行次數 = 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2 ≈ O(n²)

② 第二個迴圈

  • 當 i=2 → j 從 1 跑到 1 → 1 次
  • 當 i=3 → j 從 1 跑到 2 → 2 次
  • 當 i=4 → j 從 1 跑到 3 → 3 次
  • 當 i=n-1 → j 從 1 跑到 n-2 → (n-2) 次
  • 總執行次數 = 1+2+…+(n−2) = (n−1)(n−2)/2 ≈ O(n²)

③ 合併

  • ① 與 ② 各自為 O(n²)
  • 合併後仍為 O(n²)
  • 所以時間複雜度 = O(n²)

進階概念預告🔜

在理解了時間複雜度及空間複雜度之後，下一篇我們將總結:

  • 比較Two Sum兩種核心解法
  • 說明時間與空間的權衡
  • 總結如何快速判斷複雜度

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