LeetCode題解析時間複雜度

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上週 這篇 一同理解了為什麼需要複雜度分析之後，本篇我們將一起透過 LeetCode 題目，逐步分析時間複雜度，看看不同複雜度在演算法實戰中的應用情境。

O(1)

O(1) is holy. - Hamid Tizhoosh

以LeetCode的 231.Power of Two 來說明。

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class Solution(object):
    def isPowerOfTwo(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: bool
        """
        return n>0 and n&(n-1)==0

print(Solution().isPowerOfTwo(16)) #True
print(Solution().isPowerOfTwo(3))  #False
💡 2的n次方數字在二進位時只會有一個1
14 → 01110₂
15 → 01111₂
24 = 16 → 10000₂

分析複雜度

時間複雜度是 O(1)

  • n>0 #一次比較 → O(1)
  • (n-1) #一次減法 → O(1)
  • n&(n-1)==0 #一次位元運算 → O(1)
  • 所以時間複雜度 = O(1) + O(1) + O(1) = O(1)

空間複雜度是 O(1)

  • 只用了幾個變數: (n-1)、n&(n-1)、布林值
  • 沒有使用與輸入規模 n 成長相關的額外資料空間
  • 所以空間複雜度 = O(1)

O(log n)

以LeetCode的 69.Sqrt(x) 來說明。

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class Solution(object):
    def mySqrt(self, x):
        if x < 2:
            return x
       
        left, right = 1, x // 2
        while left <= right:
            mid = (left + right) // 2
            square = mid * mid
           
            if square == x:
                return mid
            elif square < x:
                left = mid + 1
            else:
                right = mid - 1
       
        return right

print(Solution().mySqrt(8)) #2
print(Solution().mySqrt(4)) #2
print(Solution().mySqrt(1)) #1

分析複雜度

時間複雜度是 O(log n)

  • 每次把搜尋區間 [left, right] 對半縮小
  • 初始搜尋區間: [1, x//2]，大小約為 x/2
  • 第 1 次迭代後: 區間縮小一半 → x/4
  • 第 2 次迭代後: 區間再縮小一半 → x/8
  • 第 k 次迭代後: x/2(k+1) ≈ 1 → 2(k+1) = x → k = log₂(x)-1 → ≈ 需要 log₂(x) 次迭代
  • 所以時間複雜度 = O(log n)

空間複雜度是 O(1)

  • 只用了幾個變數: left, right, mid
  • 沒有使用與輸入規模 n 成長相關的額外資料空間
  • 所以空間複雜度 = O(1)

O(n)

以LeetCode的 1.Two Sum 來說明。

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class Solution(object):
    def twoSum(self, nums, target):
        """
        :type nums: List[int]
        :type target: int
        :rtype: List[int]
        """
        d = {}
        for i,v in enumerate(nums):
            diff=target-v
            if diff in d:
                return [d[diff],i]
            d[v]=i

nums = [2,7,11,15]
target = 9
Solution().twoSum(nums, target) #[0, 1]

分析複雜度

時間複雜度是 O(n)

  • 迴圈跑 n 次 (n = len(nums)) → O(n)
  • 每次迭代內的操作:
    • 計算 diff = target - v → O(1)
    • 查詢 diff in d → O(1)
    • 插入 d[v] = i → O(1)
  • 所以時間複雜度 = O(n)

空間複雜度是 O(n)

  • 只用了幾個變數: i、v、diff
  • 使用了一個字典 d → O(n)
  • 所以空間複雜度 = O(n)

O(n²)

以LeetCode的 1.Two Sum 來說明。

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class Solution(object):
    def twoSum(self, nums, target):
        """
        :type nums: List[int]
        :type target: int
        :rtype: List[int]
        """
        for i in range(len(nums)):
          for j in range(i+1, len(nums)):
            if nums[i]+nums[j]==target:
              return [i,j]

nums = [2,7,11,15]
target = 9
Solution().twoSum(nums, target) #[0, 1]

分析複雜度

時間複雜度是 O(n²)

  • 當 i=0 → j 從 1 到 n-1，要跑 n-1 次
  • 當 i=1 → j 從 2 到 n-1，要跑 n-2 次
    …
  • 當 i=n-2 → j 只剩 n-1，要跑 1 次
  • 當 i=n-1 → j 沒有值，要跑 0 次
  • 總執行次數 = (n-1) + (n-2) + … + 1 = n(n-1)/2 ≈ O(n²)
  • 所以時間複雜度 = O(n²)

空間複雜度是 O(1)

  • 只用了幾個變數: i、j 和list [i, j]
  • 沒有使用與輸入規模 n 成長相關的額外資料空間
  • 所以空間複雜度 = O(1)

進階概念預告🔜

在理解了時間複雜度之後，下一篇我們將一起解鎖:

  • 透過 LeetCode 題目，逐步分析空間複雜度
  • 看看不同複雜度在演算法實戰中的應用情境

準備好再來點 LeetCode 了嗎?

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